2013年GCT数学备考第3讲：练习题及解析

1.已知a=2001/2002, b=2002/2003, c=2003/2004, 则（ ）。

A. a>b>c B. b>c>a C. c>a>b D. c>b>a

【答案】D

【解析】试题主要考查数的比较。这道题目有常规解法也有快速解法，还可以从微积分的角度考虑，但我们更推荐快速解法。

常规解法2001×2003=（2002－1）（2002+1）=20022－1<20022,所以20012002<20022003。

2002×2004=（2003－1）（2003+1）=20032－1<20032,所以20022003<20032004， 即c>b>a。

快速解法a=20012002=1－12002,b=20022003=1－12003, c=20032004=1－12004,所以c>b>a。

求导数法考虑函数f（x）=xx+1, 则f′（x）=x+1－x（x+1）2=1（x+1）2>0，即f（x）单调递增，所以 c>b>a，故选D。

2. 某项工程8个人用35天完成了全工程量的13，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ）。

A. 18 B. 35 C. 40 D. 60

【答案】C

【解析】设完成剩余的工程还需要的天数是x，则8×35=12（8+6）x，故x=40。

3.一个房间内有凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每个桌子有4条腿，当他们全部被坐上后，共有43条腿（包括每人两条腿），则房间的人数为：（ ）

A、6 B、8 C、9 D10 E 12

【答案】B

【解析】设人数为X个，有K个椅子，则有：2X+4（X-K）+3K=6X-K=43，从而知：X≥8且K≤8，综合分析，仅8符合题意，选B。

4.某商店以每件21元的价格从厂家购入一批商品，若每件商品售价为a 元，则每天卖出（350-10a）件商品，但物价局限定商品出售时，商品加价不能超过进价的20%，商店计划每天从该商品出售中至少赚400元。则每件商品的售价最低应定为：（ ）元。

A、21 B、23 C、25 D、26 E、以上均不正确

【答案】C

【解析】设最低定价为X元，已知：X≤21*（1+20%）；（X-21）（350-10X）≥400；由以上分析可知：X≤25.2；（X-25）（X-31）≤0；所以X≤25.2，同时25≤X≤31；所以：25≤X≤25.2，选C。

5.集合{0，1，2，3}的子集的个数为（ ）。

A. 14 B. 15 C. 16 D. 18

【答案】C

【解析】对于一个有限集合X，其所有子集的个数为2N，其中N为集合X所含元素的个数。由此可知，本题的答案是24，即选C。

6.两个正数a,b（a>b）的算术平均值是其几何平均值的2倍，则与ab最接近的整数是（ ）。

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

【答案】

【解析】试题主要考查一元二次方程的求解。根据题意，a+b2=2ab，整理得ab2-4ab+1=0，因为a>b，所以求解该方程得ab=2+3，于是ab=7+43≈7+4×1.7=13.8，故选C。

7.将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ ）。

A. 356 B. 556 C. 328 D. 528

【答案】C

【解析】试题考查组合公式、等可能事件。

将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，共有C58种放法； 枚举3个空格相连的放法有6种，所求概率为6C58=328，故选C。

8.将8名乒乓球选手分为两组，每组4人，则甲、乙两位选手在同一组的概率为（ ）。

A. 17 B. 27

C. 37 D. 47

【答案】

【解析】试题主要考查组合公式和等可能概率。解法一将8名乒乓球选手分为A、B两组，共有C48种分法。甲、乙两位选手同在A组有C26种可能，同理，甲、乙两位选手同在B组有C26种可能，因此甲、乙两位选手在同一组的概率为2C26C48=37,故选C。

9.设f（x）=∫x0t2（t－1）dt，则f（x）的极值点的个数是（ ）。

A. 0 B. 1 C. 2D. 3

【答案】B

【解析】试题主要考查如何用求导来判断函数极值点。令f（x）的导数为0，f′（x）=x2（x－1）=0，得到x=0,1。

二阶导函数为f″（x）=2x（x－1）+x2，因为f″（0）=0，所以0不是极值点； f″（1）>0，所以1是极小值点，且为惟一的极值点，故选B。

10.设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r，在正圆锥的体积最大时，rh=（ ）。

A. 122 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】这是一元函数微分学与几何的简单综合题，考查了勾股定理、圆锥体积公式和闭区间上函数的最值问题。

圆锥体积为 V=13πr2h=13πh（52－h2），所以由dVdh=13π（52－3h2）=0得h2=253（易知这时体积最大），从而r2=52－h2=503，所以rh=2，故选C。