2013GCT数学备考：复习策略与解题思路（5）
2013-07-25 10:45:22 www.gct-online.com
1、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法共有多少种？（462）
【思路1】剩下的5个分配到5个班级。c（5,7）
剩下的5个分配到4个班级。c（1,7）*c（3,6）
剩下的5个分配到3个班级。c（1,7）*c（2,6）+c（2,7）*c（1,5）
剩下的5个分配到2个班级。c（1,7）*c（1,6）+c（1,7）*c（1,6）
剩下的5个分配到1个班级。c（1,7）
所以c（5,7）+c（1,7）*c（3,6）+c（1,7）*c（2,6）+c（2,7）*c（1,5）+c（1,7）*c（1,6）+c（1,7）*c（1,6）+c（1,7）=462
【思路2】C（6,11）=462
2、在10个信箱中已有5个有信，甲、乙、丙三人各拿一封信，依次随便投入一信箱。求：
（1）甲、乙两人都投入空信箱的概率。
（2）丙投入空信箱的概率。
【思路】
（1）A=甲投入空信箱，B=乙投入空信箱，P（AB）=C（1,5）*C（1,4）/（10*10）=1/5
（2）C=丙投入空信箱，P（C）=P（C*AB）+P（C* B）+P（C*A ）+P（C* ）=（5*4*3+5*5*4+5*6*4+5*5*5）/1000=0.385
3、设A是3阶矩阵，b1=（1,2,2）的转置阵，b2=（2,-2,1）的转置阵，b3=（-2,-1,2）的转置阵，满足Ab1=b1,Ab2=2b2,Ab3=3b3,求A.
【思路】可化简为A（b1,b2,b3）‘= （b1,b2,b3）′
求得A=
4、已知P（A）=X,P（B）=2X,P（C）=3X且P（AB）=P（BC）,求X的最大值。
【思路】P（BC）=P（AB）=P（A）=X
P（BC）=P（AB）小于等于P（A）=X
P（B+C）=P（B）+P（C）-P（BC）大于等于4X
又因为P（B+C）小于等于1
4X小于等于1，X小于等于1/4
所以X最大为1/4
5、在1至2000中随机取一个整数，求
（1）取到的整数不能被6和8整除的概率
（2）取到的整数不能被6或8整除的概率
【思路】设A=被6整除，B=被8整除；
P（B）=[2000/8]/2000=1/8=0.125；
P（A）=[2000/6]/2000=333/2000=0.1665；[2000/x]代表2000/x的整数部分；
（1）求1-P（AB）;AB为A 、B的最小公倍数；
P（AB）=[2000/24]/2000=83/2000=0.0415；答案为1-0.0415=0.9585
（2）求1-P（A+B）;P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.25;答案为1-0.25=0.75.
6、任意将10本书放在书架上，其中有两套书，一套3卷，一套4卷，求两套各自放在一起，还按卷次顺排好的概率。
【思路】将两套书看作两本书，加上另外3本，共有5本，有5!中；
两套书每一套有两种排法（按卷次顺排好有123和321，1234和4321），
所以答案是（5！*2*2）/10！
7、袋中有20个球，其中5个红球，15个白球，每次从中取出5个球，最后不放回，求第三次取出的5个球中有红球的概率。（答案0.628）
【思路】设A为有红球，Bi为前2次取出红球有i个（i=0,1,2,…，5）个，
则剩下10个球中有对应有5-i个红球。
P（Bi）=C（5,i）C（15,10-i）/C（20,10）;
P（A/Bi）=1-C（10-（5-i）,5）/C（10,5）=1-C（5+i,5）/c（10,5）;
P（A）=P（A/Bi）*P（Bi）之和（i=0,1,2,…，5）
8、一表面为红色的正方体被分割成1000个同样大小的正方体，现在从中任意取一个小正方体，求恰有两面涂有红色的概率。
【思路】正方体有12条棱，每条棱上有8个符合要求；其它则不合要求。
答案为12*8/1000=0.096
9、从n双型号各不相同的鞋子中任取2r只（2r小于等于n），求下列事件概率
（1）A=没有一双配对
（2）B=恰有一双配对
【思路】（1）先从N双鞋子中取2r双，在从2r双中每双选1只。
前半个是 ，后面是22r,共有 22r
（2）2r只中2r-2只不配对，2支配对。先从n双中挑出1双[C =n];在从剩下的（n-1）双中挑出2r-2只不配对，由（1）可知共有 22r-2; B=n 22。（本系列终）
