2013年GCT考试数学知识练习题及解析（3）

1、设１０件产品中有４件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（０.２）【思路】在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品(2)为合格品,即两件都是合格品.对于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;对于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/5

2、某人自称能预见未来，作为对他的考验，将1枚硬币抛10次，每一次让他事先预言结果，10次中他说对7次 ，如果实际上他并不能预见未来，只是随便猜测，则他作出这样好的答案的概率是多少？答案为11/64。

【思路】原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 C(7 10)0.5^7×0.5^3+……C(10 10)0.5^10, 即为11/64.

3、成等比数列三个数的和为正常数K,求这三个数乘积的最小值【思路】a/q+a+a*q=k(k为正整数)由此求得a=k/(1/q+1+q)所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值.

对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.

其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值)4、掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。

【思路】可以有两种方法：

1.用古典概型 样本点数为C（3，5），样本总数为C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是说正面朝上为2，3，4，5个），相除就可以了；2.用条件概率 在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。至少2个正面向上的概率为13/16，P（AB）的概率为5/16，得5/13假设事件A：至少出现两个正面；B：恰好出现三个正面。

A和B满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。

5、设有n个球和n个能装球的盒子，它们各编有序号1,2,….n今随机将球分别放在盒子中，每个盒放一个，求两个序号恰好一致的数对个数的数学期望。（答案：1）【思路】1/nn，N个球进N个盒有N的N次方种排列，对号入座只有1种排列。

6、若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则((x1+1)*(x2+1))/p=?

(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1【思路】题目说有两个正整数的根，故只能是1和37，p=-387、设F(n)=(n+1) n-1(n为自然数),则F(n):

(a) 只能被n整除 (b)能被n*n整除 …..

【思路】用二项式定理去做第二题，只考虑n的系数，有一个含n的项.系数中还有一个n.答案应为b。

8、一张盒子中有4张卡片，其中两张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是绿色，一张卡片一面红一面绿。任取其中一张，观察其一面的颜色，如果被观察的一面是绿的，求另一面也是绿色的概论。

【思路】设A=被观察的一面是绿的，B=两面都是绿,则需求P（B/A）=P（AB）/P（A）=P（B）/P（A）=1/4：1/2=1/2，所给答案却2/3？

9、 在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,求:(1)最小号码为5的概率，(2)最大号码为5的概率.

【思路】最小号码为5 的概率：

号码5已确定，另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出,所以概率为10/120＝1/12同样最大号码为5的概率：

号码5已确定，另外2人的号码应从1、2、3、4中选出,所以概率为6/120＝1/2010、从5 双不同的鞋子中任取4 只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?

【思路】可以这样理解，先算出没有两只配成一双的情况，然后用1去减一下便可。4只鞋中没有配成一双的情况：10只鞋按配对分成5组，只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况，那么组合数为： 10×8×6×4任取4只的组合数为：10×9×8×7所以没有2只配对的概率为：10×8×6×4/10×9×8×7＝8/21故至少2只成对的概率为1－8/12＝13/2111、设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1）上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3）上的诸数字。旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。

【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则：

p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/812、设某家庭有3个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率。

【思路】设A为三人中至少有一个女孩，B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩；P（A） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , P(AB)=1-（1/2）*（1/2）=3/4,所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。

(这样分析是认为三个孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三种情况，总共有八个样本，这比抛硬币难理解一些）13、求极限部分不能正常显示，想要具体复习资料可以到清华版教材和相关复习资料。